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2020年3月24日 星期二

國立臺灣大學一百零六學年度研究所碩士班入學考試試題:應用微積分

每題 10 分,總分為 100
  1. Evaluate the following integrals: 1logxxn+1dx.
  2. 訣竅由分部積分法求解即可。本題出自 Mathematical Analysis (Apostol 著),第十章第十五題 b 小題,也與一百零五年應用微積分第五題相同。
    解法假定 nN 且此處之 loge 為底數。如此所求可直接計算為

    1logxxn+1dx=1n1logxdxn=xnlogxn|1+1n1xn1xdx=xnn2|1=1n2


  3. Find the value of liman=11nasin2nπxxsdx for a>0 and s>0.
  4. 訣竅這是難題。此為難題,可見 Mathematical Analysis (Apostol 著),第十章習題第二十八題 a 小題。
    解法首先由分部積分法可知

    asin2nπxxsdx=cos2nπx2nπxs|as2nπacos2nπxxs+1dx=cos2nπa2nπass2nπacos2nπxxs+1dx

    又容易注意到

    |acos2nπxxs+1dx|adxxs+1=1sxs|a=1sas

    這表明

    |asin2nπxxsdx|12nπ1+cos2nπaas

    如此所求的無窮和有這樣的估計式

    |n=11nasin2nπxxsdx|1+cos2nπa2πasn=11n2=1+cos2nπa2πasπ26=π(1+cos2nπa)12asπ6as

    由於 s>0,因此 limaπ6as=0,那麼由夾擠定理可知索求極限為

    liman=11nasin2nπxxsdx=0


  5. Find the value of 2π0sinvcosvxvdv.
  6. 訣竅運用積化和差公式與經典瑕積分之結果求解。本題與 Mathematical Analysis (Apostol 著),第十一章習題第二十八題相同。
    解法使用積化和差公式可知

    sinvcosvx=sin[(x+1)v]sin[(x1)v]2

    如此所求之值可計算如下

    2π0sinvcosvxvdv=1π0sin[(x+1)v]sin[(x1)v]vdv

    x=±1,則所求為 12,而當 x(,1)(1,) 時,所求為 0,而當 x(1,1) 時則所求為 1

  7. Evaluate the following integrals: Rne. Here \left\|{\bf x}\right\|^2=x_1^2+\cdots+x_n^2.
  8. 訣竅注意到每個變量都獨立,從而可以寫為多個獨立的單變量瑕積分之積。本題與 Mathematical Analysis (Apostol 著),第十五章習題第九題 c 小題相同。
    解法容易注意到所求可寫為

    \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\left\|{\bf x}\right\|^2}dx_1dx_2\cdots dx_n=\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x_1^2}dx_1\right)\cdots\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x_n^2}dx_n\right)=\sqrt\pi\cdots\sqrt\pi=\pi^{\frac{n}2}


  9. Find the value of \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x^2}{\left(x^2+4\right)^2\left(x^2+9\right)}dx.
  10. 訣竅運用有理函數的積分方法處理之。本題與 Mathematical Analysis (Apostol 著),第十六章習題第三十四題相同。
    解法首先將被積分函數改寫如下

    \displaystyle\frac{x^2}{\left(x^2+4\right)^2\left(x^2+9\right)}=\frac{Ax+B}{x^2+4}+\frac{Cx+D}{\left(x^2+4\right)^2}+\frac{Ex+F}{x^2+9}

    其中 A,B,C,D,E,F 為待定常數。兩邊同乘以 \left(x^2+4\right)^2\left(x^2+9\right)

    \begin{aligned}x^2&=\left(Ax+B\right)\left(x^2+4\right)\left(x^2+9\right)+\left(Cx+D\right)\left(x^2+9\right)+\left(Ex+F\right)\left(x^2+4\right)^2\\&=\left(Ax+B\right)\left(x^4+13x^2+36\right)+\left(Cx^3+Dx^2+9Cx+9D\right)+\left(Ex+F\right)\left(x^4+8x^2+16\right)\\&=\left(A+E\right)x^5+\left(B+F\right)x^4+\left(13A+C+8E\right)x^3+\left(13B+D+8F\right)x^2+\left(36A+9C+16E\right)x+\left(36B+9D+16F\right)\end{aligned}

    比較係數有聯立方程組

    \left\{\begin{aligned}&A+E=0\\&B+F=0\\&13A+C+8E=0\\&13B+D+8F=1\\&36A+9C+16E=0\\&36B+9D+16F=0\end{aligned}\right.

    可解得 A=C=E=0,而 \displaystyle B=\frac9{25}\displaystyle D=-\frac45\displaystyle F=-\frac9{25},如此所求的瑕積分可改寫如下

    \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x^2}{\left(x^2+4\right)^2\left(x^2+9\right)}dx=\frac9{25}\int_0^{\infty}\frac{dx}{x^2+4}-\frac45\int_0^{\infty}\frac{dx}{\left(x^2+4\right)^2}-\frac9{25}\int_0^{\infty}\frac{dx}{x^2+9}

    其中第二項的不定積分可運用三角代換(令 x=2\tan\theta)計算如下

    \displaystyle\begin{aligned}\int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)^2}&=\int\frac{2\sec^2\theta d\theta}{16\sec^4\theta}=\frac18\int\cos^2\theta d\theta=\frac1{16}\int\left(1+\cos2\theta\right)d\theta\\&=\frac1{16}\left(\theta+\frac{\sin2\theta}2\right)+C=\frac{\theta+\sin\theta\cos\theta}{16}+C=\frac{\displaystyle\tan^{-1}\left(\frac{x}2\right)+\frac{2x}{x^2+4}}{16}+C\end{aligned}

    如此所求之瑕積分可計算如下

    \displaystyle\begin{aligned}\int_0^{\infty}\frac{x^2}{\left(x^2+4\right)^2\left(x^2+9\right)}dx&=\left.\left[\frac9{25}\cdot\frac12\tan^{-1}\left(\frac{x}2\right)-\frac45\cdot\frac{\displaystyle\tan^{-1}\left(\frac{x}2\right)+\frac{2x}{x^2+4}}{16}-\frac9{25}\cdot\frac13\tan^{-1}\left(\frac{x}3\right)\right]\right|_0^{\infty}\\&=\frac9{50}\cdot\frac\pi2-\frac45\cdot\frac\pi{32}-\frac3{25}\cdot\frac\pi2=\frac\pi{200}\end{aligned}


  11. Find the value of \displaystyle\lim_{h\to0}\frac1h\int_5^{5+h}x^7\sin x^2dx.
  12. 訣竅運用羅必達法則與微積分基本定理求解即可。
    解法使用羅必達法則與微積分基本定理可知

    \displaystyle\lim_{h\to0}\frac1h\int_5^{5+h}x^7\sin x^2dx=\lim_{h\to0}\left(5+h\right)^7\sin\left(5+h\right)^2=5^7\sin5^2=78125\sin25


  13. Find the value of \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{y/2}^{\infty}e^{-x^2+xy-\frac54y^2}dxdy.
  14. 訣竅將被積分函數之次方配方後使用極座標變換處理之。
    解法首先注意到被積分函數可改寫如下

    e^{-x^2+xy-\frac54y^2}=e^{-\left(x-\frac{y}2\right)^2-y^2}

    \displaystyle r=\sqrt{\left(x-\frac{y}2\right)^2+y^2},\qquad\theta=\tan^{-1}\frac{2y}{2x-y}

    由積分範圍可知變數範圍 \left\{\begin{aligned}&0\leq r\\&-\frac\pi2\leq\theta\leq\frac\pi2\end{aligned}\right.,如此所求的瑕積分可改寫如下

    \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{y/2}^{\infty}e^{-x^2+xy-\frac54y^2}dxdy=\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\int_0^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta=\left.-\pi\cdot\frac{e^{-r^2}}2\right|_0^{\infty}=\frac{\pi}2


  15. Prove that \displaystyle\frac{d\ln x}{dx}=\frac1x. (You can use the following equation: \displaystyle\frac{de^x}{dx}=e^x.)
  16. 訣竅使用反函數的定義與連鎖律證明之。
    解法注意到 e^{\ln x}=x,故運用連鎖律求導可知

    \displaystyle e^{\ln x}\cdot\frac{d\ln x}{dx}=1

    e^{\ln x}=x,故移項便有 \displaystyle\frac{d\ln x}{dx}=\frac1x,證明完畢。

  17. Let \displaystyle F\left(x\right)=\int_x^{2x}\ln\left(x^2+t\right)dt. Find \displaystyle\frac{dF\left(x\right)}{dx}.
  18. 訣竅運用變數變換處理被積分函數為雙變數的情形,隨後求導時使用微積分基本定理與連鎖律。
    解法t=u-x^2,那麼
    • t=x 時有 u=x+x^2
    • t=2x 時有 u=2x+x^2
    • 求導有 dt=du
    據此可將函數 F 改寫如下

    \displaystyle F\left(x\right)=\int_{x+x^2}^{2x+x^2}\ln udu

    那麼由微積分基本定理與連鎖律求導可知

    \displaystyle\frac{dF\left(x\right)}{dx}=\ln\left(2x+x^2\right)\cdot\left(2+2x\right)-\ln\left(x+x^2\right)\cdot\left(1+2x\right)=\left(2+2x\right)\ln\left(2+x\right)-\left(1+2x\right)\ln\left(1+x\right)+\ln x


  19. Prove that \displaystyle\frac{dx^2}{dx}=2x.
  20. 訣竅按照導函數的定義計算求解即可。
    解法f\left(x\right)=x^2,那麼按照導函數的定義有

    \displaystyle\frac{dx^2}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}h=\lim_{h\to0}\frac{\left(x+h\right)^2-x^2}h=\lim_{h\to0}\left(2x+h\right)=2x

    證明完畢。

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