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2020年5月14日 星期四

國立臺灣大學一百零九學年度研究所碩士班入學考試試題:應用微積分

※注意:請用 2B 鉛筆作答於答案卡,並先詳閱答案卡上之「畫記說明」。

1. Multiple Choice Questions (50%)

  1. What is the coefficient of y3x6 in (1+x+y)5(1+x)7?
    1. 350
    2. 840
    3. 70
    4. 490
    5. None of the above.
  2. 訣竅有效率的展開求解。
    解法作如下的二項式展開可知

    (1+x+y)5(1+x)7=(y+(1+x))5(1+x)7=[y5+5y4(1+x)+10y3(1+x)2+10y2(1+x)3+5y(1+x)4+(1+x)5](1+x)7

    只關注具有 y3 的那項為 10y3(1+x)9,而具有 x6 的係數為 C96=84,因此所求的項為 840x6y3,故選(B)。

  3. The volume of a ball of radius R in 6-dimensional Euclidean space is π36R6. What is the volume of a ball of radius R in 7-dimensional Euclidean space?
    1. 8π3105R7
    2. 32π3105R7
    3. 16π3105R7
    4. 4π3105R7
    5. None of the above.
  4. 訣竅根據旋轉體體積的概念求解。
    解法按照題設,在六維空間中的球體 BR(0)={(x1,,x6)R6:x21++x26R2} 的體積為 π36R6。那麼七維空間的球體

    E={(x1,,x6,x7)R7R2x27x21++x26R2x27,Rx7R}

    可以運用旋轉體體積的概念列式並計算如下

    V=RRBR2x27(0)1dx7=RRπ36R2x276dx7=π33R0(R2x27)3dx7=π33R0(R63R4x27+3R2x47x67)dx7=π33(R6x7R4x37+3R2x575x777)|R0=π331635R7=16π3105R7

    故選(C)。

  5. The volume of a ball of radius R in 6-dimensional Euclidean space is π36R6. What is the surface area of this ball?
    1. π36R5
    2. π33R5
    3. π32R5
    4. π3R5
    5. None of the above.
  6. 訣竅運用殼層表面累積的概念與微積分基本定理求解。
    解法設六維空間中半徑為 r 的球面表面積為 S(r),那麼由體積公式可知

    R0S(r)dr=π36R6

    那麼由微積分基本定理可知 S(R)=π3R5,因此選(D)。

  7. Which of the following is closest to the value of 101+13xdx?
    1. 1
    2. 1.2
    3. 1.6
    4. 2
    5. The integral doesn't converge.
  8. 訣竅運用變數變換改寫瑕積分至較容易估算的形式。
    解法u=1+13x,那麼
    • x=1 時有 u=23
    • x0+ 時有 u
    • 平方整理有 x=13(u21)=16(u1)16(u+1),求導可得 dx=(16(u1)2+16(u+1)2)du
    據此所求的瑕積分可改寫並計算如下

    101+13xdx=23u(16(u+1)216(u1)2)du=(u6(u+1)u6(u1))|2323(16(u+1)16(u1))du=236(23+1)+236(231)(16lnu+1u1)|23=233+16ln2+323=233+13ln(2+3)

    使用 31.732 可知

    101+13xdx21.7323+13ln(2+1.732)=3.4643+13ln3.7321.155+0.438=1.593

    故選(C)。

  9. e2e31xlnxdx=
    1. 32
    2. 23
    3. ln23
    4. ln32
    5. None of the above.
  10. 訣竅由變數變換的概念計算即可。
    解法u=lnx,那麼
    • x=e3 時有 u=3
    • x=e2 時有 u=2
    • 取指數有 x=eu,求導則有 dx=eudu
    據此所求的定積分可改寫並計算如下

    e2e31xlnxdx=231euueudu=ln|u||23=ln2ln3=ln23

    應選(C)。

  11. How many roots of x44x28x+12 lie in the range [2,2]?
    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. 3
    5. None of the above.
  12. 訣竅利用函數的的遞增遞減與中間值定理求解即可。
    解法f(x)=x44x28x+12,求一階與二階導函數有 f(x)=4x38x8=4(x32x2)f。那麼在 \displaystyle x=\pm\frac{\sqrt6}3 處有凹向性的改變,此即 f' 在這兩處發生極值,而 \displaystyle f'\left(-\frac{\sqrt6}3\right)=-8-\frac{16\sqrt6}9<0\displaystyle f'\left(\frac{\sqrt6}3\right)=-8+\frac{16\sqrt6}9<0,這表明 f' 僅有一實根,記此實根為 r_0,此表明 f 在該處達到絕對極小值。從而只要 f\left(r_0\right)<0f\left(-\infty,r_0\right) 有一實根,而在 \left(r_0,\infty\right) 上有另一實根。

    現直接由中間值定理檢驗可以注意到 f\left(1\right)=1f\left(2\right)=-4f\left(3\right)=33,故 f 分別在 \left(1,2\right)\left(2,3\right) 中各有一實根。

    那麼在 f\left[-2,2\right] 中恰有一實根,選(B)。

  13. Assume f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} is smooth. \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+4h\right)-2f\left(x\right)+f\left(x-4h\right)}{h^2}=
    1. 0
    2. 8f'\left(x\right)
    3. 8f''\left(x\right)
    4. 16f''\left(x\right)
    5. None of the above.
  14. 訣竅運用羅必達法則即可。
    解法使用羅必達法則可知

    \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+4h\right)-2f\left(x\right)+f\left(x-4h\right)}{h^2}=\lim_{h\to0}\frac{4f'\left(x+4h\right)-4f'\left(x-4h\right)}{2h}=\lim_{h\to0}\frac{16f''\left(x+4h\right)+16f''\left(x-4h\right)}2=16f''\left(x\right)

    故選(D)。

  15. From the following list, choose the smallest value of n for which the following limit exists for all r\geq n.

    \displaystyle\lim_{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}\frac{x^r}{\left|x\right|^2+\left|y\right|^2}

    1. 1
    2. 1.5
    3. 2
    4. 2.5
    5. None of the above.
  16. 訣竅留意所求問題在 x<0 時無意義。
    解法注意到當 x<0r 非整數時問題無意義,故應選(E)。

    假若給定的極限如下

    \displaystyle\lim_{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}\frac{\left|x\right|^r}{\left|x\right|^2+\left|y\right|^2}

    那麼可以發現在 r>2 時極限存在且為零,但當 r=2 時可透過沿兩軸趨於原點的極限不同而知極限不存在。此處,我們說明在 r>2 的情形:觀察下面的不等式

    \displaystyle0\leq\frac{\left|x\right|^r}{\left|x\right|^2+\left|y\right|^2}=\frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot\left|x\right|^{r-2}\leq\left|x\right|^{r-2}

    由於 \displaystyle\lim_{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}\left|x\right|^{r-2}=0,故由夾擠定理可知給定的極限為零,故自選項中應選(D)。


  17. Find the maximum of x^2y on the curve x^2+2y^2=6.
    1. 3
    2. 4
    3. 5
    4. 6
    5. None of the above.
  18. 訣竅運用算術幾何不等式;或化約為單變數函數在給定區間上求極值;亦可使用拉格朗日乘子法求解。
    解法一利用算術幾何不等式可知

    \displaystyle2=\frac{\displaystyle\frac{x^2}2+\frac{x^2}2+2y^2}3\geq\sqrt[3]{\frac{x^2}2\cdot\frac{x^2}2\cdot2y^2}=\frac{\sqrt[3]{x^4y^2}}{\sqrt[3]2}

    立方後整理有 x^4y^2\leq16,故 x^2y\leq4,故最大值為 4,其中等號成立條件為 x=\pm2y=1。因此選(B)。
    解法二由條件可知 x^2=6-2y^2,其中 y\in\left[-\sqrt3,\sqrt3\right]。那麼欲求極值的函數可表達為 y 的函數為 f\left(y\right)=6y-2y^3。那麼可能發生極值的位置滿足方程式 f'\left(y\right)=6-6y^2=0,可得 y=\pm1。將這些位置與邊界值代入檢查可知

    f\left(\pm2,\pm1\right)=\pm4,  f\left(0,\pm\sqrt3\right)=0

    因此最大值為 4,選(B)。
    解法三設定拉格朗日乘子函數 F 如下

    F\left(x,y,\lambda\right)=x^2y+\lambda\left(x^2+2y^2-6\right)

    據此解聯立方程組

    \left\{\begin{aligned}&F_x\left(x,y,\lambda\right)=2xy+2x\lambda=0\\&F_y\left(x,y,\lambda\right)=x^2+4y\lambda=0\\&F_\lambda\left(x,y,\lambda\right)=x^2+2y^2-6=0\end{aligned}\right.

    由第一式可知 x=0\lambda=-y
    • x=0,那麼由第三式可知 y=\pm\sqrt3
    • \lambda=-y,那麼由第二式可知 x^2=4y^2,代入第三式便有 6y^2=6,故 y=\pm1,而 x=\pm2,共計有四種組合。
    餘下代入計算的過程同解法二。

  19. Assume f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} is smooth with f\left(1\right)=1 and f'\left(1\right)=2. Find \displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{f\left(e^{2x-2}\right)}{xf\left(x\right)}\right) at x=1.
    1. 0
    2. e^2-3
    3. e-3
    4. 1
    5. None of the above.
  20. 訣竅運用微分公式仔細計算即可。
    解法使用微分公式求導可知

    \displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{f\left(e^{2x-2}\right)}{xf\left(x\right)}\right)=\frac{2xe^{2x-2}f'\left(e^{2x-2}\right)f\left(x\right)-f\left(e^{2x-2}\right)\left[f\left(x\right)+xf'\left(x\right)\right]}{x^2f^2\left(x\right)}

    那麼取 x=1 代入可得

    \displaystyle\frac{2f'\left(1\right)f\left(1\right)-f\left(1\right)\left[f\left(1\right)+f'\left(1\right)\right]}{f^2\left(1\right)}=1

    故選(D)。

※注意:請於試卷內之「非選擇題作答區」標明題號依序作答。

2. Answer the following questions:

  1. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\left(2\pi\right)^{1/2}x^{x-1/2}e^{-x}}{\displaystyle\int_0^{\infty}y^{x-1}e^{-y}dy}=     (10\%)
  2. 訣竅注意到分母為 \Gamma 函數,而分子為 Stirling 公式。
    解法首先改寫分母的積分式並運用變數變換 y=\left(x-1\right)u,可注意到

    \displaystyle\int_0^{\infty}y^{x-1}e^{-y}dy=\int_0^{\infty}e^{\left(x-1\right)\ln y-y}dy=e^{\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)}\left(x-1\right)\int_0^{\infty}e^{\left(x-1\right)\left(\ln u-u\right)}du

    拉普拉斯方法,我們可以注意到

    \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\sqrt{\frac{2\pi}{x-1}}e^{-\left(x-1\right)}}{\displaystyle\int_0^{\infty}e^{\left(x-1\right)\left(\ln u-u\right)}du}=1

    因此將前兩式結合可知

    \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\left(x-1\right)^x\left(2\pi\right)^{1/2}\left(x-1\right)^{-1/2}e^{-x}e}{\displaystyle\int_0^{\infty}y^{x-1}e^{-y}dy}=1

    又觀察到 \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\left(x-1\right)^{x-1/2}}{x^{x-1/2}}=\frac1e。至此可知所求的極限為 1

  3. \displaystyle\int_0^1\frac{41!}{x!\left(40-x\right)!}y^{x+2}\left(1-y\right)^{40-x}dy=     (10\%)
  4. 訣竅參考九十四學年度應用微積分,第十三題之解法中的一部分。
    解法承訣竅,我們使用公式

    \displaystyle\int_0^1y^{n-1}\left(1-y\right)^{m-1}dy=\frac{\left(n-1\right)!\left(m-1\right)!}{\left(m+m-1\right)!}

    那麼所求為

    \displaystyle\frac{41!}{x!\left(40-x\right)!}\cdot\frac{\left(x+2\right)!\left(40-x\right)!}{41!}=\left(x+2\right)\left(x+1\right)


  5. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\left(x-\mu\right)^{2n}e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx=      where \mu>0 and \sigma>0 (10\%)
  6. 訣竅運用變數變換簡化問題後歸納求解即可。
    解法\displaystyle u=\frac{x-\mu}{\sqrt2\sigma},那麼 \displaystyle du=\frac{dx}{\sqrt2\sigma},如此所求的瑕積分可改寫為

    \displaystyle\frac1{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\sqrt2\sigma u\right)^{2n}e^{-u^2}du=\frac{2^n\sigma^{2n}}{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^{\infty}u^{2n}e^{-u^2}du

    容易數學歸納式地計算如下

    \displaystyle\begin{aligned}\frac{2^n\sigma^{2n}}{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^{\infty}u^{2n}e^{-u^2}du&=\frac{\sigma^{2n}}{\sqrt\pi}\cdot2^{n-1}\left(2n-1\right)\int_{-\infty}^{\infty}u^{2n-2}e^{-u^2}du\\&=\frac{\sigma^{2n}}{\sqrt\pi}\cdot2^{n-2}\left(2n-1\right)\left(2n-3\right)\int_{-\infty}^{\infty}u^{2n-4}e^{-u^2}du\\&=\cdots\\&=\frac{\sigma^{2n}}{\sqrt\pi}\cdot2^{n-n}\left(2n-1\right)\left(2n-3\right)\cdots3\cdot1\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}du\\&=\frac{\sigma^{2n}}{\sqrt\pi}\left(2n-1\right)\left(2n-3\right)\cdots3\cdot1\cdot\sqrt\pi\\&=\sigma^{2n}\left(2n-1\right)!!\end{aligned}


  7. \displaystyle\int_0^{\infty}\frac1{\displaystyle\int_0^{\infty}y^{\alpha-1}e^{-y}dy}x^{-2}\left(\beta x\right)^{\alpha}e^{-\beta x}dx=      where \alpha>1 (10\%)
  8. 訣竅注意到分母為 \Gamma 函數,而分子近乎是 \Gamma 函數,故為此進行適當的改寫即可。
    解法注意到所求可以先寫為

    \displaystyle\int_0^{\infty}\frac1{\displaystyle\int_0^{\infty}y^{\alpha-1}e^{-y}dy}x^{-2}\left(\beta x\right)^{\alpha}e^{-\beta x}dx=\beta\left(\int_0^{\infty}y^{\alpha-1}e^{-y}dy\right)^{-1}\int_0^{\infty}\left(\beta x\right)^{\alpha-2}e^{-\beta x}d\left(\beta x\right)=\frac{\beta\left(\alpha-2\right)!}{\left(\alpha-1\right)!}=\frac{\beta}{\alpha-1}


  9. \displaystyle\int_0^1x^{r+\alpha-1}\left(1-x\right)^{s+\beta-1}\frac{\displaystyle\int_0^{\infty}y^{\alpha+\beta-1}e^{-y}dy}{\displaystyle\int_0^{\infty}z^{\alpha-1}e^{-z}dz\times\int_0^{\infty}t^{\beta-1}e^{-t}dt}dx=     (10\%)
  10. 訣竅利用 \Gamma 函數與第二題的訣竅來計算。
    解法所求可直接計算如下

    \displaystyle\frac{\left(r+\alpha-1\right)!\left(s+\beta-1\right)!}{\left(r+s+\alpha+\beta-1\right)!}\cdot\frac{\left(\alpha+\beta-1\right)!}{\left(\alpha-1\right)!\left(\beta-1\right)!}

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