※注意:請用 2B 鉛筆作答於答案卡,並先詳閱答案卡上之「畫記說明」。
1. Multiple Choice Questions (50%)
- What is the coefficient of y3x6 in (1+x+y)5(1+x)7?
- 350
- 840
- 70
- 490
- None of the above.
- The volume of a ball of radius R in 6-dimensional Euclidean space is π36R6. What is the volume of a ball of radius R in 7-dimensional Euclidean space?
- 8π3105R7
- 32π3105R7
- 16π3105R7
- 4π3105R7
- None of the above.
- The volume of a ball of radius R in 6-dimensional Euclidean space is π36R6. What is the surface area of this ball?
- π36R5
- π33R5
- π32R5
- π3R5
- None of the above.
- Which of the following is closest to the value of ∫10√1+13xdx?
- 1
- 1.2
- 1.6
- 2
- The integral doesn't converge.
- 當 x=1 時有 u=2√3;
- 當 x→0+ 時有 u→∞;
- 平方整理有 x=13(u2−1)=16(u−1)−16(u+1),求導可得 dx=(−16(u−1)2+16(u+1)2)du。
- ∫e−2e−31xlnxdx=
- 32
- 23
- ln23
- ln32
- None of the above.
- 當 x=e−3 時有 u=−3;
- 當 x=e−2 時有 u=−2;
- 取指數有 x=eu,求導則有 dx=eudu。
- How many roots of x4−4x2−8x+12 lie in the range [−2,2]?
- 0
- 1
- 2
- 3
- None of the above.
- Assume f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} is smooth. \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+4h\right)-2f\left(x\right)+f\left(x-4h\right)}{h^2}=
- 0
- 8f'\left(x\right)
- 8f''\left(x\right)
- 16f''\left(x\right)
- None of the above.
- From the following list, choose the smallest value of n for which the following limit exists for all r\geq n.
\displaystyle\lim_{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}\frac{x^r}{\left|x\right|^2+\left|y\right|^2}
- 1
- 1.5
- 2
- 2.5
- None of the above.
- Find the maximum of x^2y on the curve x^2+2y^2=6.
- 3
- 4
- 5
- 6
- None of the above.
- 若 x=0,那麼由第三式可知 y=\pm\sqrt3;
- 若 \lambda=-y,那麼由第二式可知 x^2=4y^2,代入第三式便有 6y^2=6,故 y=\pm1,而 x=\pm2,共計有四種組合。
- Assume f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} is smooth with f\left(1\right)=1 and f'\left(1\right)=2. Find \displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{f\left(e^{2x-2}\right)}{xf\left(x\right)}\right) at x=1.
- 0
- e^2-3
- e-3
- 1
- None of the above.
訣竅
有效率的展開求解。解法
作如下的二項式展開可知(1+x+y)5(1+x)7=(y+(1+x))5(1+x)7=[y5+5y4(1+x)+10y3(1+x)2+10y2(1+x)3+5y(1+x)4+(1+x)5](1+x)7
只關注具有 y3 的那項為 10y3(1+x)9,而具有 x6 的係數為 C96=84,因此所求的項為 840x6y3,故選(B)。訣竅
根據旋轉體體積的概念求解。解法
按照題設,在六維空間中的球體 BR(0)={(x1,…,x6)∈R6:x21+⋯+x26≤R2} 的體積為 π36R6。那麼七維空間的球體E={(x1,⋯,x6,x7)∈R7∣−√R2−x27≤√x21+⋯+x26≤√R2−x27,−R≤x7≤R}
可以運用旋轉體體積的概念列式並計算如下V=∫R−R∫B√R2−x27(0)1dx7=∫R−Rπ36√R2−x276dx7=π33∫R0(R2−x27)3dx7=π33∫R0(R6−3R4x27+3R2x47−x67)dx7=π33(R6x7−R4x37+3R2x575−x777)|R0=π33⋅1635R7=16π3105R7
故選(C)。訣竅
運用殼層表面累積的概念與微積分基本定理求解。解法
設六維空間中半徑為 r 的球面表面積為 S(r),那麼由體積公式可知∫R0S(r)dr=π36R6
那麼由微積分基本定理可知 S(R)=π3R5,因此選(D)。訣竅
運用變數變換改寫瑕積分至較容易估算的形式。解法
令 u=√1+13x,那麼∫10√1+13xdx=∫2√3∞u⋅(16(u+1)2−16(u−1)2)du=(u6(u+1)−u6(u−1))|∞2√3−∫∞2√3(16(u+1)−16(u−1))du=−2√36(2√3+1)+2√36(2√3−1)−(16lnu+1u−1)|∞2√3=2√33+16ln2+√32−√3=2√33+13ln(2+√3)
使用 √3≈1.732 可知∫10√1+13xdx≈2⋅1.7323+13ln(2+1.732)=3.4643+13ln3.732≈1.155+0.438=1.593
故選(C)。訣竅
由變數變換的概念計算即可。解法
令 u=lnx,那麼∫e−2e−31xlnxdx=∫−2−31euu⋅eudu=ln|u||−2−3=ln2−ln3=ln23
應選(C)。訣竅
利用函數的的遞增遞減與中間值定理求解即可。解法
設 f(x)=x4−4x2−8x+12,求一階與二階導函數有 f′(x)=4x3−8x−8=4(x3−2x−2),f″。那麼在 \displaystyle x=\pm\frac{\sqrt6}3 處有凹向性的改變,此即 f' 在這兩處發生極值,而 \displaystyle f'\left(-\frac{\sqrt6}3\right)=-8-\frac{16\sqrt6}9<0 且 \displaystyle f'\left(\frac{\sqrt6}3\right)=-8+\frac{16\sqrt6}9<0,這表明 f' 僅有一實根,記此實根為 r_0,此表明 f 在該處達到絕對極小值。從而只要 f\left(r_0\right)<0 時 f 在 \left(-\infty,r_0\right) 有一實根,而在 \left(r_0,\infty\right) 上有另一實根。現直接由中間值定理檢驗可以注意到 f\left(1\right)=1、f\left(2\right)=-4 且 f\left(3\right)=33,故 f 分別在 \left(1,2\right) 與 \left(2,3\right) 中各有一實根。
那麼在 f 在 \left[-2,2\right] 中恰有一實根,選(B)。訣竅
運用羅必達法則即可。解法
使用羅必達法則可知\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+4h\right)-2f\left(x\right)+f\left(x-4h\right)}{h^2}=\lim_{h\to0}\frac{4f'\left(x+4h\right)-4f'\left(x-4h\right)}{2h}=\lim_{h\to0}\frac{16f''\left(x+4h\right)+16f''\left(x-4h\right)}2=16f''\left(x\right)
故選(D)。訣竅
留意所求問題在 x<0 時無意義。解法
注意到當 x<0 而 r 非整數時問題無意義,故應選(E)。假若給定的極限如下
\displaystyle\lim_{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}\frac{\left|x\right|^r}{\left|x\right|^2+\left|y\right|^2}
那麼可以發現在 r>2 時極限存在且為零,但當 r=2 時可透過沿兩軸趨於原點的極限不同而知極限不存在。此處,我們說明在 r>2 的情形:觀察下面的不等式\displaystyle0\leq\frac{\left|x\right|^r}{\left|x\right|^2+\left|y\right|^2}=\frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot\left|x\right|^{r-2}\leq\left|x\right|^{r-2}
由於 \displaystyle\lim_{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}\left|x\right|^{r-2}=0,故由夾擠定理可知給定的極限為零,故自選項中應選(D)。訣竅
運用算術幾何不等式;或化約為單變數函數在給定區間上求極值;亦可使用拉格朗日乘子法求解。解法一
利用算術幾何不等式可知\displaystyle2=\frac{\displaystyle\frac{x^2}2+\frac{x^2}2+2y^2}3\geq\sqrt[3]{\frac{x^2}2\cdot\frac{x^2}2\cdot2y^2}=\frac{\sqrt[3]{x^4y^2}}{\sqrt[3]2}
立方後整理有 x^4y^2\leq16,故 x^2y\leq4,故最大值為 4,其中等號成立條件為 x=\pm2,y=1。因此選(B)。解法二
由條件可知 x^2=6-2y^2,其中 y\in\left[-\sqrt3,\sqrt3\right]。那麼欲求極值的函數可表達為 y 的函數為 f\left(y\right)=6y-2y^3。那麼可能發生極值的位置滿足方程式 f'\left(y\right)=6-6y^2=0,可得 y=\pm1。將這些位置與邊界值代入檢查可知f\left(\pm2,\pm1\right)=\pm4, f\left(0,\pm\sqrt3\right)=0
因此最大值為 4,選(B)。解法三
設定拉格朗日乘子函數 F 如下F\left(x,y,\lambda\right)=x^2y+\lambda\left(x^2+2y^2-6\right)
據此解聯立方程組\left\{\begin{aligned}&F_x\left(x,y,\lambda\right)=2xy+2x\lambda=0\\&F_y\left(x,y,\lambda\right)=x^2+4y\lambda=0\\&F_\lambda\left(x,y,\lambda\right)=x^2+2y^2-6=0\end{aligned}\right.
由第一式可知 x=0 或 \lambda=-y。訣竅
運用微分公式仔細計算即可。解法
使用微分公式求導可知\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{f\left(e^{2x-2}\right)}{xf\left(x\right)}\right)=\frac{2xe^{2x-2}f'\left(e^{2x-2}\right)f\left(x\right)-f\left(e^{2x-2}\right)\left[f\left(x\right)+xf'\left(x\right)\right]}{x^2f^2\left(x\right)}
那麼取 x=1 代入可得\displaystyle\frac{2f'\left(1\right)f\left(1\right)-f\left(1\right)\left[f\left(1\right)+f'\left(1\right)\right]}{f^2\left(1\right)}=1
故選(D)。※注意:請於試卷內之「非選擇題作答區」標明題號依序作答。
2. Answer the following questions:
- \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\left(2\pi\right)^{1/2}x^{x-1/2}e^{-x}}{\displaystyle\int_0^{\infty}y^{x-1}e^{-y}dy}= (10\%)
- \displaystyle\int_0^1\frac{41!}{x!\left(40-x\right)!}y^{x+2}\left(1-y\right)^{40-x}dy= (10\%)
- \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\left(x-\mu\right)^{2n}e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}dx= where \mu>0 and \sigma>0 (10\%)
- \displaystyle\int_0^{\infty}\frac1{\displaystyle\int_0^{\infty}y^{\alpha-1}e^{-y}dy}x^{-2}\left(\beta x\right)^{\alpha}e^{-\beta x}dx= where \alpha>1 (10\%)
- \displaystyle\int_0^1x^{r+\alpha-1}\left(1-x\right)^{s+\beta-1}\frac{\displaystyle\int_0^{\infty}y^{\alpha+\beta-1}e^{-y}dy}{\displaystyle\int_0^{\infty}z^{\alpha-1}e^{-z}dz\times\int_0^{\infty}t^{\beta-1}e^{-t}dt}dx= (10\%)
訣竅
注意到分母為 \Gamma 函數,而分子為 Stirling 公式。解法
首先改寫分母的積分式並運用變數變換 y=\left(x-1\right)u,可注意到\displaystyle\int_0^{\infty}y^{x-1}e^{-y}dy=\int_0^{\infty}e^{\left(x-1\right)\ln y-y}dy=e^{\left(x-1\right)\ln\left(x-1\right)}\left(x-1\right)\int_0^{\infty}e^{\left(x-1\right)\left(\ln u-u\right)}du
由拉普拉斯方法,我們可以注意到\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\sqrt{\frac{2\pi}{x-1}}e^{-\left(x-1\right)}}{\displaystyle\int_0^{\infty}e^{\left(x-1\right)\left(\ln u-u\right)}du}=1
因此將前兩式結合可知\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\left(x-1\right)^x\left(2\pi\right)^{1/2}\left(x-1\right)^{-1/2}e^{-x}e}{\displaystyle\int_0^{\infty}y^{x-1}e^{-y}dy}=1
又觀察到 \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\left(x-1\right)^{x-1/2}}{x^{x-1/2}}=\frac1e。至此可知所求的極限為 1。訣竅
參考九十四學年度應用微積分,第十三題之解法中的一部分。解法
承訣竅,我們使用公式\displaystyle\int_0^1y^{n-1}\left(1-y\right)^{m-1}dy=\frac{\left(n-1\right)!\left(m-1\right)!}{\left(m+m-1\right)!}
那麼所求為\displaystyle\frac{41!}{x!\left(40-x\right)!}\cdot\frac{\left(x+2\right)!\left(40-x\right)!}{41!}=\left(x+2\right)\left(x+1\right)
訣竅
運用變數變換簡化問題後歸納求解即可。解法
令 \displaystyle u=\frac{x-\mu}{\sqrt2\sigma},那麼 \displaystyle du=\frac{dx}{\sqrt2\sigma},如此所求的瑕積分可改寫為\displaystyle\frac1{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\sqrt2\sigma u\right)^{2n}e^{-u^2}du=\frac{2^n\sigma^{2n}}{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^{\infty}u^{2n}e^{-u^2}du
容易數學歸納式地計算如下\displaystyle\begin{aligned}\frac{2^n\sigma^{2n}}{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^{\infty}u^{2n}e^{-u^2}du&=\frac{\sigma^{2n}}{\sqrt\pi}\cdot2^{n-1}\left(2n-1\right)\int_{-\infty}^{\infty}u^{2n-2}e^{-u^2}du\\&=\frac{\sigma^{2n}}{\sqrt\pi}\cdot2^{n-2}\left(2n-1\right)\left(2n-3\right)\int_{-\infty}^{\infty}u^{2n-4}e^{-u^2}du\\&=\cdots\\&=\frac{\sigma^{2n}}{\sqrt\pi}\cdot2^{n-n}\left(2n-1\right)\left(2n-3\right)\cdots3\cdot1\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}du\\&=\frac{\sigma^{2n}}{\sqrt\pi}\left(2n-1\right)\left(2n-3\right)\cdots3\cdot1\cdot\sqrt\pi\\&=\sigma^{2n}\left(2n-1\right)!!\end{aligned}
訣竅
注意到分母為 \Gamma 函數,而分子近乎是 \Gamma 函數,故為此進行適當的改寫即可。解法
注意到所求可以先寫為\displaystyle\int_0^{\infty}\frac1{\displaystyle\int_0^{\infty}y^{\alpha-1}e^{-y}dy}x^{-2}\left(\beta x\right)^{\alpha}e^{-\beta x}dx=\beta\left(\int_0^{\infty}y^{\alpha-1}e^{-y}dy\right)^{-1}\int_0^{\infty}\left(\beta x\right)^{\alpha-2}e^{-\beta x}d\left(\beta x\right)=\frac{\beta\left(\alpha-2\right)!}{\left(\alpha-1\right)!}=\frac{\beta}{\alpha-1}
訣竅
利用 \Gamma 函數與第二題的訣竅來計算。解法
所求可直接計算如下\displaystyle\frac{\left(r+\alpha-1\right)!\left(s+\beta-1\right)!}{\left(r+s+\alpha+\beta-1\right)!}\cdot\frac{\left(\alpha+\beta-1\right)!}{\left(\alpha-1\right)!\left(\beta-1\right)!}
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