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2020年5月14日 星期四

國立臺灣大學一百零九學年度研究所碩士班入學考試試題:應用微積分

※注意:請用 2B 鉛筆作答於答案卡,並先詳閱答案卡上之「畫記說明」。

1. Multiple Choice Questions (50%)

  1. What is the coefficient of y3x6 in (1+x+y)5(1+x)7?
    1. 350
    2. 840
    3. 70
    4. 490
    5. None of the above.
  2. 訣竅有效率的展開求解。
    解法作如下的二項式展開可知

    (1+x+y)5(1+x)7=(y+(1+x))5(1+x)7=[y5+5y4(1+x)+10y3(1+x)2+10y2(1+x)3+5y(1+x)4+(1+x)5](1+x)7

    只關注具有 y3 的那項為 10y3(1+x)9,而具有 x6 的係數為 C96=84,因此所求的項為 840x6y3,故選(B)。

  3. The volume of a ball of radius R in 6-dimensional Euclidean space is π36R6. What is the volume of a ball of radius R in 7-dimensional Euclidean space?
    1. 8π3105R7
    2. 32π3105R7
    3. 16π3105R7
    4. 4π3105R7
    5. None of the above.
  4. 訣竅根據旋轉體體積的概念求解。
    解法按照題設,在六維空間中的球體 BR(0)={(x1,,x6)R6:x21++x26R2} 的體積為 π36R6。那麼七維空間的球體

    E={(x1,,x6,x7)R7R2x27x21++x26R2x27,Rx7R}

    可以運用旋轉體體積的概念列式並計算如下

    V=RRBR2x27(0)1dx7=RRπ36R2x276dx7=π33R0(R2x27)3dx7=π33R0(R63R4x27+3R2x47x67)dx7=π33(R6x7R4x37+3R2x575x777)|R0=π331635R7=16π3105R7

    故選(C)。

  5. The volume of a ball of radius R in 6-dimensional Euclidean space is π36R6. What is the surface area of this ball?
    1. π36R5
    2. π33R5
    3. π32R5
    4. π3R5
    5. None of the above.
  6. 訣竅運用殼層表面累積的概念與微積分基本定理求解。
    解法設六維空間中半徑為 r 的球面表面積為 S(r),那麼由體積公式可知

    R0S(r)dr=π36R6

    那麼由微積分基本定理可知 S(R)=π3R5,因此選(D)。

  7. Which of the following is closest to the value of 101+13xdx?
    1. 1
    2. 1.2
    3. 1.6
    4. 2
    5. The integral doesn't converge.
  8. 訣竅運用變數變換改寫瑕積分至較容易估算的形式。
    解法u=1+13x,那麼
    • x=1 時有 u=23
    • x0+ 時有 u
    • 平方整理有 x=13(u21)=16(u1)16(u+1),求導可得 dx=(16(u1)2+16(u+1)2)du
    據此所求的瑕積分可改寫並計算如下

    101+13xdx=23u(16(u+1)216(u1)2)du=(u6(u+1)u6(u1))|2323(16(u+1)16(u1))du=236(23+1)+236(231)(16lnu+1u1)|23=233+16ln2+323=233+13ln(2+3)

    使用 31.732 可知

    101+13xdx21.7323+13ln(2+1.732)=3.4643+13ln3.7321.155+0.438=1.593

    故選(C)。

  9. e2e31xlnxdx=
    1. 32
    2. 23
    3. ln23
    4. ln32
    5. None of the above.
  10. 訣竅由變數變換的概念計算即可。
    解法u=lnx,那麼
    • x=e3 時有 u=3
    • x=e2 時有 u=2
    • 取指數有 x=eu,求導則有 dx=eudu
    據此所求的定積分可改寫並計算如下

    e2e31xlnxdx=231euueudu=ln|u||23=ln2ln3=ln23

    應選(C)。

  11. How many roots of x44x28x+12 lie in the range [2,2]?
    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. 3
    5. None of the above.
  12. 訣竅利用函數的的遞增遞減與中間值定理求解即可。
    解法f(x)=x44x28x+12,求一階與二階導函數有 f(x)=4x38x8=4(x32x2)f(x)=12x28。那麼在 x=±63 處有凹向性的改變,此即 f 在這兩處發生極值,而 f(63)=81669<0f(63)=8+1669<0,這表明 f 僅有一實根,記此實根為 r0,此表明 f 在該處達到絕對極小值。從而只要 f(r0)<0f(,r0) 有一實根,而在 (r0,) 上有另一實根。

    現直接由中間值定理檢驗可以注意到 f(1)=1f(2)=4f(3)=33,故 f 分別在 (1,2)(2,3) 中各有一實根。

    那麼在 f[2,2] 中恰有一實根,選(B)。

  13. Assume f:RR is smooth. limh0f(x+4h)2f(x)+f(x4h)h2=
    1. 0
    2. 8f(x)
    3. 8f(x)
    4. 16f(x)
    5. None of the above.
  14. 訣竅運用羅必達法則即可。
    解法使用羅必達法則可知

    limh0f(x+4h)2f(x)+f(x4h)h2=limh04f(x+4h)4f(x4h)2h=limh016f(x+4h)+16f(x4h)2=16f(x)

    故選(D)。

  15. From the following list, choose the smallest value of n for which the following limit exists for all rn.

    lim(x,y)(0,0)xr|x|2+|y|2

    1. 1
    2. 1.5
    3. 2
    4. 2.5
    5. None of the above.
  16. 訣竅留意所求問題在 x<0 時無意義。
    解法注意到當 x<0r 非整數時問題無意義,故應選(E)。

    假若給定的極限如下

    lim(x,y)(0,0)|x|r|x|2+|y|2

    那麼可以發現在 r>2 時極限存在且為零,但當 r=2 時可透過沿兩軸趨於原點的極限不同而知極限不存在。此處,我們說明在 r>2 的情形:觀察下面的不等式

    0|x|r|x|2+|y|2=x2x2+y2|x|r2|x|r2

    由於 lim(x,y)(0,0)|x|r2=0,故由夾擠定理可知給定的極限為零,故自選項中應選(D)。


  17. Find the maximum of x2y on the curve x2+2y2=6.
    1. 3
    2. 4
    3. 5
    4. 6
    5. None of the above.
  18. 訣竅運用算術幾何不等式;或化約為單變數函數在給定區間上求極值;亦可使用拉格朗日乘子法求解。
    解法一利用算術幾何不等式可知

    2=x22+x22+2y233x22x222y2=3x4y232

    立方後整理有 x4y216,故 x2y4,故最大值為 4,其中等號成立條件為 x=±2y=1。因此選(B)。
    解法二由條件可知 x2=62y2,其中 y[3,3]。那麼欲求極值的函數可表達為 y 的函數為 f(y)=6y2y3。那麼可能發生極值的位置滿足方程式 f(y)=66y2=0,可得 y=±1。將這些位置與邊界值代入檢查可知

    f(±2,±1)=±4,  f(0,±3)=0

    因此最大值為 4,選(B)。
    解法三設定拉格朗日乘子函數 F 如下

    F(x,y,λ)=x2y+λ(x2+2y26)

    據此解聯立方程組

    {Fx(x,y,λ)=2xy+2xλ=0Fy(x,y,λ)=x2+4yλ=0Fλ(x,y,λ)=x2+2y26=0

    由第一式可知 x=0λ=y
    • x=0,那麼由第三式可知 y=±3
    • λ=y,那麼由第二式可知 x2=4y2,代入第三式便有 6y2=6,故 y=±1,而 x=±2,共計有四種組合。
    餘下代入計算的過程同解法二。

  19. Assume f:RR is smooth with f(1)=1 and f(1)=2. Find ddx(f(e2x2)xf(x)) at x=1.
    1. 0
    2. e23
    3. e3
    4. 1
    5. None of the above.
  20. 訣竅運用微分公式仔細計算即可。
    解法使用微分公式求導可知

    ddx(f(e2x2)xf(x))=2xe2x2f(e2x2)f(x)f(e2x2)[f(x)+xf(x)]x2f2(x)

    那麼取 x=1 代入可得

    2f(1)f(1)f(1)[f(1)+f(1)]f2(1)=1

    故選(D)。

※注意:請於試卷內之「非選擇題作答區」標明題號依序作答。

2. Answer the following questions:

  1. limx(2π)1/2xx1/2ex0yx1eydy=     (10%)
  2. 訣竅注意到分母為 Γ 函數,而分子為 Stirling 公式。
    解法首先改寫分母的積分式並運用變數變換 y=(x1)u,可注意到

    0yx1eydy=0e(x1)lnyydy=e(x1)ln(x1)(x1)0e(x1)(lnuu)du

    拉普拉斯方法,我們可以注意到

    limx2πx1e(x1)0e(x1)(lnuu)du=1

    因此將前兩式結合可知

    limx(x1)x(2π)1/2(x1)1/2exe0yx1eydy=1

    又觀察到 limx(x1)x1/2xx1/2=1e。至此可知所求的極限為 1

  3. 1041!x!(40x)!yx+2(1y)40xdy=     (10%)
  4. 訣竅參考九十四學年度應用微積分,第十三題之解法中的一部分。
    解法承訣竅,我們使用公式

    10yn1(1y)m1dy=(n1)!(m1)!(m+m1)!

    那麼所求為

    41!x!(40x)!(x+2)!(40x)!41!=(x+2)(x+1)


  5. 12πσ(xμ)2ne12(xμσ)2dx=      where μ>0 and σ>0 (10%)
  6. 訣竅運用變數變換簡化問題後歸納求解即可。
    解法u=xμ2σ,那麼 du=dx2σ,如此所求的瑕積分可改寫為

    1π(2σu)2neu2du=2nσ2nπu2neu2du

    容易數學歸納式地計算如下

    2nσ2nπu2neu2du=σ2nπ2n1(2n1)u2n2eu2du=σ2nπ2n2(2n1)(2n3)u2n4eu2du==σ2nπ2nn(2n1)(2n3)31eu2du=σ2nπ(2n1)(2n3)31π=σ2n(2n1)!!


  7. 010yα1eydyx2(βx)αeβxdx=      where α>1 (10%)
  8. 訣竅注意到分母為 Γ 函數,而分子近乎是 Γ 函數,故為此進行適當的改寫即可。
    解法注意到所求可以先寫為

    010yα1eydyx2(βx)αeβxdx=β(0yα1eydy)10(βx)α2eβxd(βx)=β(α2)!(α1)!=βα1


  9. 10xr+α1(1x)s+β10yα+β1eydy0zα1ezdz×0tβ1etdtdx=     (10%)
  10. 訣竅利用 Γ 函數與第二題的訣竅來計算。
    解法所求可直接計算如下

    (r+α1)!(s+β1)!(r+s+α+β1)!(α+β1)!(α1)!(β1)!

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