[高瞻自然科學教育資源平台] 實數

國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

讓我們先開宗明義地說明什麼「是」實數。在數線上任取一點 $P$，它與原點 $O$ 的線段長是數線之單位長的（唯一）倍數，記作 $\overline{OP}$，此數即為 $0$ 或正實數。若 $P$ 即原點，則其坐標為 $0$；若 $P$ 在原點右側（即數線的箭頭方向），令其坐標為 $\overline{OP}$；若 $P$ 在原點左側，令其坐標為 $-\overline{OP}$。則實數的幾何看法是：

數線上任一點的坐標就是實數，它是正或負的單位長倍數。

現在，讓我們沿著數線上畫出一個腰為單位長的等腰直角三角形，並以原點為其中一個頂點。如下圖。

以此三角形的斜邊為半徑，以原點 $O$ 為圓心，畫出一圓交數線於兩點，其中一點在 $O$ 的右側，令它是 $P$ 點。可見 $P$ 點確實在數線上，而根據畢氏定理 $\overline{OP}=\sqrt2$，所以 $\sqrt2$ 是一個實數。我們已經知道 $\sqrt2$ 不是有理數，所以，有理數雖然稠密，卻不能「佈滿」數線。有理數在數線上留下許多肉眼不能觀察，心靈卻能洞悉的空隙。數線上坐標不是有理數的點，其坐標就稱為無理數。例如 $\sqrt2$ 是一個無理數。

實數集合以 $\mathbb R$ 表示，所謂「$x$ 是一個實數」也可以用 $x\in\mathbb R$ 表示。從自然數開始不斷架構直至實數的概念後，我們便可以畫出一個實數家族圖，圖 A。在這個圖上，下方的「數族」是上方的一部份，我們稱下方的是上方的子集合。例如正整數是整數的子集合，正整數也是有理數的子集合，記作 $\mathbb N\subset\mathbb Z$ 或 $\mathbb N\subset\mathbb Q$。

除非特別聲明，我們平常所說的「數」就是指實數。圖 A 中所有種類的「數」都在數線上，是實數的子集合。因為有著數線的模型，使得實數和它的所有子集合，都具備一個很特殊的性質，稱為三一律：

令 $a$、$b$ 為實數，則 $a>b$ 或 $a<b$ 或 $a=b$ 三種關係必有一個且僅有一個成立。

這是因為，實數 $a$ 與 $b$ 各自是數線上某兩點 $P$ 與 $Q$ 的坐標。則 $P$、$Q$ 兩點在數線上的相對位置只能有以下三者之一：$P$ 與 $Q$ 重疊，$P$ 在 $Q$ 的右側，$P$ 在 $Q$ 的左側。因為我們規定 $P$ 在 $Q$ 的右側就是「$a$ 大於 $b$」，$P$ 在 $Q$ 的左側就是「$a$ 小於 $b$」，$P$ 與 $Q$ 重疊就是「$a$ 等於 $b$」，所以就是三一律了。

要將實數 $x$ 用數字表示，必須先規定一個記數系統。就採用自然數和有理數所用的十進制。如果 $x$ 是整數，我們已經知道該怎麼寫，所以不討論了。如果 $x$ 不是整數，它一定在連續兩個整數之間：

$n\leq x<n+1$，其中 $n\in\mathbb Z$。

則 $0\leq x−n\leq1$ 以十進制數字寫出來，是一個純小數 $p$，所以 $x=n+p$ 就得到 $x$ 的十進制小數表示。現在，我們可以用數字來說明什麼「是」實數：

小數點下有任意多位數字的數值 $\pm N.b_1b_2b_3b_4\dots$，其中 $N\in\mathbb N$，$b_k\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$，就是一個實數。

我們已經知道，當 $x$ 的小數部分是有限小數或無窮循環小數時，$x$ 是有理數；所有其他不循環的無窮小數都是無理數。正的實數稱為正數，負實數則稱為負數。

觀察十進制小數 $p=0.416\dots$ 在數線上的位置：

1. 將 $0$ 到 $1$ 的區間等分十份，每份的長度是十分之一，則 $0.4\leq p\leq0.5$，而 $p$ 的十分位是 $4$。
2. 將 $0.4$ 到 $0.5$ 的區間等分十份，每份的長度是百分之一，則 $0.41\leq p\leq0.42$，而 $p$ 的百分位是 $1$。
3. 將 $0.41$ 到 $0.42$ 的區間等分十份，每份的長度是千分之一，則 $0.416\leq p\leq0.417$，而 $p$ 的千分位是 $7$。
讀者應該已經觀察出來，若

$\displaystyle\frac b{10^n}\leq p<\frac{b+1}{10^n}$，其中 $b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$，

則 $p$ 的小數點下第 $n$ 位的數字就是 $b$。

應用上述十進制小數在數線上的意義，我們能夠用每次十等分的想法，決定無理數的在小數點下第一、第二、第三、第四…位的數字，稱為十分逼近法。以 $\sqrt2$ 為例，令數線上點 $P$ 的坐標是 $\sqrt2$，根據 $(\sqrt2)^2=2$ 之性質，我們以十分逼近法決定 $P$ 點坐標的小數點下前三位的數字。

• 已知 $P$ 點落於 $1$ 與 $2$ 之間，因此我們將 $1$ 到 $2$ 之間的切成十等份，其間九個等分點的坐標為 $1.1$、$1.2$、$1.3$、…、$1.9$。計算這九個數的平方，其結果列表如下。
  

  由計算的結果看到，$1.4^2<2$ 但是 $<1.5^2>2$，所以 $1.4<\sqrt2<1.5$，即 $P$ 應該介於 $1.4$ 與 $1.5$ 之間。所以知道 $\sqrt2$ 的十分位是 $4$，亦即 $\sqrt2=1.4\dots$。

  如果我們的圖畫得足夠精確，則能夠在將上圖加上了新的刻度後，從放大鏡中看到下圖，顯示出 $P$ 點的位置。

  
• 根據上一次計算的結果，我們將 $1.4$ 與 $1.5$ 之間等分十份，將等分點 $1.41$ 到 $1.49$ 這九個數作平方，結果如下表。
  
  我們立刻發現 $1.41^2<2$ 但是 $1.42^2>2$，所以得到 $1.41<\sqrt2<1.42$ 的結論，省下之後的計算過程。可見 $\sqrt2$ 的百分位是 $1$，亦即 $\sqrt2=1.41\dots$。如果我們再將圖放大並加上新的刻度，則也能看到下面的數線圖。
  
• 依此類推，我們再將 $1.41$ 與 $1.42$ 之間等分十份，觀察以下表格。
  

於是我們得知 $1.414<\sqrt2<1.415$，亦即 $\sqrt2=1.414\dots$。在數線上則會呈現如下圖的狀況。


因為 $\sqrt2$ 如我們所知是無理數，所以像這樣的步驟可以不斷地繼續下去，不斷地讓 $\sqrt2$ 落在下一個十等分段落中的其中一段，並逼近更確切的數字，就像拿一個放大鏡不斷放大、換成顯微鏡繼續放大、再換成數位顯微鏡持續放大一般，這樣的流程可以永無止盡地持續下去。然而已知 $\sqrt2$ 是不循環的無窮小數，我們的篇幅有限，所以停止在此。

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