國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯
雖然實數(無理數那一部份)的本質與有理數不同,不能直接回溯至具體的自然數運算,但人們憑著直覺如同有理數般使用實數幾百年之後,才在十九世紀有人發現這些運算規則是需要證明的;幸好,它們也都被證明是正確的了。在此我們並不舉出那些證明,而因循前人的直覺,直接將有理數的運算性質移植到實數上。因為實數繼承有理數的運算規則,有理數繼承自然數的運算規則,所以,實數運算規則的根本理由,就是自然數運算規則。
以下,我們令 x、y、z 都代表實數;除非在項目中特別聲明它們的關係,否則都是任意的實數。整理了每一項的實數運算性質之後,我們略加闡述它的用途。因為關於有理數的範例在另一篇已經列舉過,所以此篇以無理數為主。
- 實數的加法結合律:(x+y)+z=x+(y+z)
- 實數的加法交換律:x+y=y+x
- 實數的加減互逆:如果 x+y=z,則 x=z−y
- 實數的乘法結合律:(xy)z=x(yz)
- 實數的乘法交換律:xy=yz
例如 √2√3=√3√2。
交換律和結合律使我們能夠推論 √2√3=√6。 - 實數乘法對加法的分配律:x(yz)=xy+xz
- 實數的乘除互逆:如果 y≠0 且 x/y=z,則 x=yz
- 等量加等量,其值相等:如果 x=y,則 x+z=y+z
- 等量乘以等量,其值相等:如果 x=y,則 xz=yz
理由是 (√2√3)2=(√2√3)(√2√3), 需要結合律等於 √2(√3√2)√3,再依據交換律等於 √2(√2√3)√3,然後用結合律等於 (√2√2)(√3√3)=(√2)2(√3)2=2×3=6;因為 (√2√3)2=6,所以 √2√3=√6。
分配律使我們可以做習慣性的同類項整理,例如
(1+√2)2=(1+√2)(1+√2)=1+√2+√2+2=3+(1+1)√2=3+2√2.
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