[高瞻自然科學教育資源平台] 實數的運算性質(Properties of the Real Number Arithmetic)

國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

雖然實數（無理數那一部份）的本質與有理數不同，不能直接回溯至具體的自然數運算，但人們憑著直覺如同有理數般使用實數幾百年之後，才在十九世紀有人發現這些運算規則是需要證明的；幸好，它們也都被證明是正確的了。在此我們並不舉出那些證明，而因循前人的直覺，直接將有理數的運算性質移植到實數上。因為實數繼承有理數的運算規則，有理數繼承自然數的運算規則，所以，實數運算規則的根本理由，就是自然數運算規則。

以下，我們令 $x$、$y$、$z$ 都代表實數；除非在項目中特別聲明它們的關係，否則都是任意的實數。整理了每一項的實數運算性質之後，我們略加闡述它的用途。因為關於有理數的範例在另一篇已經列舉過，所以此篇以無理數為主。

• 實數的加法結合律：$(x+y)+z=x+(y+z)$
• 實數的加法交換律：$x+y=y+x$

結合律和交換律使我們可以做習慣性的同類項整理，例如 $\sqrt3+3+\sqrt2+2=(2+3)+\sqrt3+\sqrt2=5+\sqrt2+\sqrt3$。

• 實數的加減互逆：如果 $x+y=z$，則 $x=z−y$

它的逆命題也成立，因為只要將 $y$ 置換成 $−y$，就是說如果 $x−y=z$，則 $x=z−(−y)=z+y$

• 實數的乘法結合律：$(xy)z=x(yz)$
• 實數的乘法交換律：$xy=yz$
  例如 $\sqrt2\sqrt3=\sqrt3\sqrt2$。
交換律和結合律使我們能夠推論 $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$。

理由是 $(\sqrt2\sqrt3)^2=(\sqrt2\sqrt3)(\sqrt2\sqrt3)$， 需要結合律等於 $\sqrt2(\sqrt3\sqrt2)\sqrt3$，再依據交換律等於 $\sqrt2(\sqrt2\sqrt3)\sqrt3$，然後用結合律等於 $(\sqrt2\sqrt2)(\sqrt3\sqrt3)=(\sqrt2)^2(\sqrt3)^2=2\times3=6$；因為 $ (\sqrt2\sqrt3)^2=6$，所以 $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$。

• 實數乘法對加法的分配律：$x(yz)=xy+xz$

分配律使我們可以做習慣性的同類項整理，例如

$\begin{aligned}(1+\sqrt2)^2&=(1+\sqrt2)(1+\sqrt2)=1+\sqrt2+\sqrt2+2=3+(1+1)\sqrt2=3+2\sqrt2.\end{aligned}$

• 實數的乘除互逆：如果 $y\neq0$ 且 $x/y=z$，則 $x=yz$
可以用來推論繁分式的計算規則。例如 $x/(1/y)=z$，則 $x=z\cdot(1/y)=z/y$，所以 $xy=z$；也就是說 $x/(1/y)=xy$。乘除互逆的逆命題也成立，因為只要將 $y$ 置換成 $1/y$，經過繁分式化簡，就是說如果 $xy=z$，則 $x=z/y$。
實數跟自然數一樣符合等量公理，而等量公理就是移項和交叉相乘的原理。等量公理是說…
• 等量加等量，其值相等：如果 $x=y$，則 $x+z=y+z$
• 等量乘以等量，其值相等：如果 $x=y$，則 $xz=yz$
對於實數，我們不再列舉減法和除法的等量公理。因為 $x−y=x−(−y)$，當 $z\neq0$，則 $x/z=x\cdot(1/z)$，所以加法和乘法的等量公理包含了減法和除法的。

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