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2024年12月9日 星期一

[高瞻自然科學教育資源平台] 實數的運算性質(Properties of the Real Number Arithmetic)

國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

雖然實數(無理數那一部份)的本質與有理數不同,不能直接回溯至具體的自然數運算,但人們憑著直覺如同有理數般使用實數幾百年之後,才在十九世紀有人發現這些運算規則是需要證明的;幸好,它們也都被證明是正確的了。在此我們並不舉出那些證明,而因循前人的直覺,直接將有理數的運算性質移植到實數上。因為實數繼承有理數的運算規則,有理數繼承自然數的運算規則,所以,實數運算規則的根本理由,就是自然數運算規則。

以下,我們令 xyz 都代表實數;除非在項目中特別聲明它們的關係,否則都是任意的實數。整理了每一項的實數運算性質之後,我們略加闡述它的用途。因為關於有理數的範例在另一篇已經列舉過,所以此篇以無理數為主。

  • 實數的加法結合律(x+y)+z=x+(y+z)
  • 實數的加法交換律x+y=y+x
結合律和交換律使我們可以做習慣性的同類項整理,例如 3+3+2+2=(2+3)+3+2=5+2+3
  • 實數的加減互逆:如果 x+y=z,則 x=zy
它的逆命題也成立,因為只要將 y 置換成 y,就是說如果 xy=z,則 x=z(y)=z+y
  • 實數的乘法結合律(xy)z=x(yz)
  • 實數的乘法交換律xy=yz
    例如 23=32
  • 交換律和結合律使我們能夠推論 23=6

    理由是 (23)2=(23)(23), 需要結合律等於 2(32)3,再依據交換律等於 2(23)3,然後用結合律等於 (22)(33)=(2)2(3)2=2×3=6;因為 (23)2=6,所以 23=6

    • 實數乘法對加法的分配律x(yz)=xy+xz

    分配律使我們可以做習慣性的同類項整理,例如

    (1+2)2=(1+2)(1+2)=1+2+2+2=3+(1+1)2=3+22.

    • 實數的乘除互逆:如果 y0x/y=z,則 x=yz
    可以用來推論繁分式的計算規則。例如 x/(1/y)=z,則 x=z(1/y)=z/y,所以 xy=z;也就是說 x/(1/y)=xy。乘除互逆的逆命題也成立,因為只要將 y 置換成 1/y,經過繁分式化簡,就是說如果 xy=z,則 x=z/y

    實數跟自然數一樣符合等量公理,而等量公理就是移項和交叉相乘的原理。等量公理是說…
    • 等量加等量,其值相等:如果 x=y,則 x+z=y+z
    • 等量乘以等量,其值相等:如果 x=y,則 xz=yz
    對於實數,我們不再列舉減法和除法的等量公理。因為 xy=x(y),當 z0,則 x/z=x(1/z),所以加法和乘法的等量公理包含了減法和除法的。

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