[書評] 數學導論

這其實是我女朋友跟人團購的書，她們都是程守慶老師的粉絲～但很久以前團購，直到今年才交到我們手中～這本書不厚但將基礎數學所需要涵蓋的重要面向都如實交代且條理清晰。

簡評：對於希望掌握書寫證明的模式、選用數學導論的優秀參考書籍，這本書是上上首選！

這本書共分六章，內容範圍可以視為數學系大一學習「數學語言」的初步。在有本書的基礎後，學習抽象的數學證明寫法或論證所需要交代的內容就會有基礎的概念。第一章先釐清邏輯與命題的概念，本書沒有特別區分命題邏輯與述詞邏輯是比較可惜的一點。作者介紹了命題、真假值、命題邏輯的推演規則與方法後，切入限量詞的介紹與使用上，隨後開始鋪述簡單的數學證明的架構。在第二章則介紹集合論，此處作者盡可能採取公理化集合論的進路並部分採取「類」(class)來避免一些淺顯的悖論。此處的重點放在集合之間的運算操作方式與集合相關的等式與包含關係的證明。在有這樣的基礎後，後續引入的概念（函數與關係）均可透過集合的語言加以描述。第三章則基於正整數集合的性質闡述出數學歸納法（及其等價的良序原理等），由於這是在處理數論與各種遞規性質中最重要的工具，因此作者放在函數單元之前介紹。接著第三與第四章介紹函數、關係與序。於我而言，函數其實就是一種特殊的關係，因此作者的鋪陳順序與我一般習慣的處理方式不同。在這本書中我們並不會看到如高中或其他課程中出現的具體函數（如多項式、指對數函數或三角函數等），反之我們所探討分析的都是抽象的函數，我們只針對這些函數所具有的特性研究，如單射、滿射、對射或是否可逆、合成操作等。值得一提的是，「大小關係」這樣的概念是放在第五章之後才提及，因此如遞增遞減這樣的概念也並不會在本書中予以強調。在第五章時，作者介紹關係並著重在等價關係、偏序、全序等概念上的介紹。我猜作者為了讓本書更容易懂，因此以同餘這樣的數論概念才對等價關係給予一個生動易懂的例子。對於 5.4 節中介紹「序」的方式可能較為抽象。而且本書沒有提及「序數」的概念稍嫌可惜。

最後一章在探討基數（或稱為勢），可用於丈量集合內的元素數量，因此需要有函數、集合兩概念結合起來才能消化本章之內容。本章除了連續統假設可能較難理解外，舉凡基數的運算或大小關係的討論應該不會太難。簡言之本書是數學導論課程中相當好用的參考書籍。若以導論的形式外能加上數學各分支的初略介紹可更能作為導論本身的意義，而不只是協助準備日後課程的基礎能力。

ISBN：9789864372072
規格：平裝 / 196頁 / 14.8 x 21 x 1 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
出版地：台灣
出版日期：2023/07/31