這本也是我先前在校際選課中修習洪萬生老師的數學史《數學史》時認識的一本書。
簡評：相較於一般的數學史教科書，本書聚焦於十個主要的數學爭議來圍繞，主題明確，析理深切。對於已經閱讀一些數學史教材的讀者而言是一個很好的延伸讀物。
本書分為十章並附上一段結語。前半段的爭論類型為研究發現的優先權的所屬者，後半段則是由哲學立場的差異所導致的爭議。或許對許多讀者而言泰半會認為數學是一門精確且永恆不變的學科，一旦發現了數學之理它就成為了真理而不會有任何爭議。然而事實不然，有許多真理是奠基於某些公設底下而產生的結果，更有的是真理與人類的想像不符，從而拒斥之。
故事的前三章便是三次方程、解析幾何與微積分發明的爭論。作者選出的這些事件都是歷史之名的惡鬥，這些才華洋溢的數學家們為著第一發現人的名號爭鋒相對，最後甚至孤苦終老！其中最重要的事件莫過於微積分的發明，這最終導致歐陸與英國的數學發展分軌，從記號上的使用與思想方面的差異使得英國落後了近乎兩百多年！
第四章是一種很微妙的競爭關係，故事中的主角們正好是兄弟。事實上伯努利家族是數學史中最重要的家族之一，其中誕生的數學家與微積分的應用發展最有相關，其思想對應產生了機率與變分學。本文的引子是最速下降線問題，他們為問題的解答的優先順序與方法的優劣有了爭論。不過本篇不完全聚焦於此，而旨在談論其中的思想。這是我覺得本書優良的一點：「不集中於爭論本身，而透過爭論的趣味性(好啦，或許對當事人並不是這麼一回事)，而帶入爭點中的數學問題為何。」
第五章則是數學與實用性的根本問題，這篇本身雖名為爭端但在我看來只是各說各話的兩方而已。一方是擁護科學的赫胥黎（可能那個時候的科學方法不需要使用太多的數學吧？），另一方則是數學界的重要人物西爾維斯特，前者先是批評了數學對於實在界的無用性，後者過了一段時間後予以反駁；但前者並未對後者給予任何回應。事件過後雙方都持續為自己的教育理念進行實踐。整體而言我不覺得這有產生什麼嚴格意義的爭端，但可以同意的是每個人對於數學究竟是「如何聯繫到自然世界的方法」有各種看法。
接下來的五章則開始進入數學哲學與數學發展的思考。首先是克羅內克與康托爾的爭論：集合論與無限。克羅內克幾乎拒絕了除了自然數的數，他一貫的哲學主張認為其他的數是人造的，雖然我不是很清楚他究竟是否反對「無限」這樣的概念，但可以很明顯的是他反對康托爾的集合論。確實，康托爾運用集合論處理無限是一種非常非常創新與不同的方法，特別是在「建立」全新的數學語言上有非常大的困難。其一是進入全新的領域中需領會一套新語言，其二是這種語言與其他的數學部分應該如何連結，最後是這樣的理論對其他的數學組成有何影響？以後見之明來說，這影響是極深的，這幾乎改變數學討論的物件的內涵，如「數」、「圖形」、「函數」等概念都可以「集合」的想法重新建構或詮釋。在往後的延伸，不久就有人發現集合論的重要性，從而為其公理化作出許多努力（最主要的工作之一是避免集合論內的自我矛盾）。
第七章則延續公理化的討論，這裡談論一個聲名遠播的公理：「選擇公理」。可以肯定的是克羅內克或站在直覺主義派系的數學家肯定不會接受這條公理。這條公理在兩個方向來說都是非常重要的，一是許多數學家進行的工作都使用到了選擇公理，其二是他在某些的敘述或理解上並不令人感到奇怪。可惜的是這條公理經常會給我們許多奇怪的結果，如「一球變兩球」，從而變得接受這條公理成為一個困難的抉擇。
因此我們到了一個非常困難的關口，究竟那些公理是可被接受的？而那些又是該被駁斥的？羅素與懷海德為此作了一個重要的工作，他們認為數學可以化約到邏輯語言，從而一切的數學問題都可改寫邏輯問題，從而進行邏輯計算就能解決。事實上這種想法早在很久以前就幾乎被數學家廣為接受，從而沒有人會主動提及這種觀點。主動將這項工作付諸實行的弗雷格，可惜他的工作在幾乎完成時被羅素發現了羅素矛盾，從而大受打擊。但羅素沿著這條矛盾試圖克服，最終寫下《數學原理》這等巨作。此時同等重要的數學家龐加萊為此開始發表意見了，他批評羅素與皮亞諾等數理邏輯的想法，我覺得他其中批評最有力道的敘述是：「在邏輯中，我只看到了束縛創造者的鐐銬。它對簡潔沒有幫助——而且差得很遠。如果在說明$1$是一個數時需要用到二十七個函數，那麼，要證明一個實數有關的定理的時候得需要多少個函數呢？」
順著這樣的脈絡達到一個極端，希爾伯特承接著邏輯主義發展為形式主義（直觀的猜測是如此，不過邏輯主義並不必然蘊含形式主義，因為有一些邏輯為非形式邏輯），而龐加萊的想法則透過布勞威爾的幫助成為了直覺主義。不過對許多數學人而言布勞威爾的直覺主義可能一點也不直覺吧（？）。他們從根本上否定了排中律，也等於大幅削弱了數學證明的工具。在本章中作者描述了這曲折離奇的歷史，事實上形式主義在許多時候都是佔上風（可能是數學的發展幾乎都順著這條路徑而走，成果與工具也依賴著許多複雜的公理，如果真的被徹底否定掉的話，那一切工作都白做了XD），然而年輕的哥德爾證明出不完備定理，明確切割出真理與可證明之間沒有蘊含關係（亦即，存在著一些真但不可證明的命題；好啦，這是我自己看了這麼多東西的解讀，如果這樣的講法有誤也煩請指正）。
最後的第十章則回到本源，到底數學是怎麼來的？發明還是發現？發現的話通常預設了一種他先於所有有知性之者就存在，只是藏在某些角落等待著人類的發現；而發明則表明出這些數學知識是透過人類的建構而來的。這兩派的想法與第九章的派別不一定有任何連結（不過在某些連結上可能需要做出的說明與辯護會少一些）。不過這種問題大概與科學真理是發明還是發現一樣是可以大哉問，可能是個可以想想但不必深究的問題吧（？）
延伸閱讀：
叢書系列：博雅文庫
規格：平裝 / 368頁 / 25k正 / 14.8 x 21 cm / 普通級 / 單色印刷 / 2版
出版地：台灣
出版日期：2016/01/25
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