這本書是我認識的人正在清理家中的數學書時我過去領取的，當時看到作者的姓名就想說「究竟這位老師會用什麼方法來介紹幾個數學問題呢？」我抱著這樣的心態來閱讀這本書。而作者的研究領域是我較為不熟悉的代數領域，從中我溫習或者從更高的觀點來重新品味這些經典的數學難題。
簡評：本書從三個知名的數學問題引出近世代數的幾個研究方向。作為銜接初等數學與代數學領域的讀物而言稍難，但對於數學系大一或大二之學生可以以另一種觀點瞭解所學之初等應用，可達到承先啟後的意義。
本書旨在介紹「Fermat 問題」、「古希臘幾何三大問題」與「方程式求解問題」。這些問題都是在具備初等數學的知識後就可以容易理解的，但要解決這些問題卻遠遠超出這些知識。因此在困擾數學家的歷史中，許多人發展了許多卓越的洞見推展數學的抽象思考，最終這些問題就像一座體系中的一間小房，穿越無數的抽象符號就可以抵達的小小註腳。
Fermat 問題源自於業餘數學家 Fermat 在讀到畢氏定理 $x^2+y^2=z^2$ 時注意到將次方 $2$ 改為任意的 $n>3$ 時似乎就不再有正整數解，但他並沒有對此給予任何證明。後人推測其使用了所謂的無窮遞降法對於幾個特殊情形作出了證明。另一個在數論極有用的概念則是同餘，運用初等數論的辦法可以用來證明 $x^3+y^3=z^3$ 的一種情形。而另一種處理第一種情形的主要辦法是 Kummer 所提出的「理想」，這也開闢了所謂的代數數論的領域，即運用代數方法研究數論的模式。他在 1847 年指出一條有望解決 Fermat 問題的道路。這裡我覺得一段有趣的想法是，作者提到 Kummer 會想出理想數的起源可能是在當時的化學已經瞭解了許多氯化物卻不能直接將氯氣分離出來，故理想數就類似於一種不能分離出來的氯氣。作者還補充道，這樣的精神就現代的除子理論（divisor theory）。回過頭來，Kummer 的最重要的貢獻是他確認了只要是「規則質數」作為次方時 Fermat 問題是正確的，而且他還知道了 $3$ 到 $61$ 之間的質數只有 $37$、$59$ 不是規則質數（事實上在 $100$ 之內的不規則質數只有 $37,59,67$）。這就表示只需要找出所有的不規則質數並逐一擊破或另尋他法解決即可，但至今（根據作者）對於有多少個規則質數等資訊都尚且不清楚。但在今日(2022年)的 Fermat 已經由另外的思路已經徹底解決了。該章之後續部分在介紹一些初等的數論定理如 Fermat 小定理等，這就不是經典的未解問題，在此不再贅述。
本書的第二部分在介紹古希臘的幾何三大問題，分別是「化圓為方」、「倍立方」以及「三等分角」。基於古希臘的數學或哲學傳統，他們意圖使用無刻度尺與圓規進行作圖。這些問題在歐幾里德彙整出「幾何原本」後使幾何學成為一個嚴謹的演繹系統。而幾何作圖則是其中的一類課題，究竟那些圖形、長度、角度是可作圖的在歷史上延續了一段極長的時間。甚至高斯決定投向數學研究正是因為他發現了正十七邊形的尺規作圖辦法。作者首先介紹這三個問題為何並以當代數學的語言化為三個作圖問題：「求作長度為 $\sqrt\pi$ 的線段」、「求作長度為 $\sqrt[3]2$ 的線段」以及「對於任意給定長度為 $\alpha$ 的線段，求作一個長度為 $x$ 的線段，其中 $x$ 滿足方程式 $4x^3-3x-\alpha=0$。」作者很快切入一個核心的問題：究竟那些數字是可以作出來的？也就是所謂的「體擴張問題」。透過分析出規矩數的概念，這三個問題迅速地被解決，但隨之也衍伸出更豐富的問題，如超越數的概念等等。作者也運用一個小節的篇幅指出「幾何三大問題不是幾何學研究的主流」：雖然那三個問題號稱幾何三大問題，但在十八、十九世紀時已經沒有多少幾何學家研究這些問題。在當時最熱門的題材是由繪畫衍伸出來的射影幾何，以及在 Riemann 運用微分方法研究幾何的微分幾何成為另一支主流。此外也有運用 Abel 積分理論建立起的代數幾何。作者試圖在本節介紹幾何學家在當時的主流工作，並希望讀者不要誤以為三大幾何問題是幾何學家所認真關切的。畢竟在十七、十八世紀以後，分析學成為一個嶄新的工具，所有過去的數學領域莫不受其影響成為新工具展現其威力的舞台。當然，在這時期幾何問題成為一個很有趣的競逐之處，同時也不乏幾何學家很熱心地為豐富的幾何學添加了許多有趣的定理，如九點圓定理等。作者認為「這類三角形與圓形地古古怪怪定理在十九世紀初期簡直如雨後春筍般的到處孳生。可是我們今天幾乎都不知道這些定理，在課堂上也不會教這些定理。這些三角形與圓形的美妙定理並沒有使我們對幾何的概念更加深刻，也無助於我們發展一種活潑清晰的直觀想像力，它像一些深奧的謎語滿足人類的好奇心。」可見作者對這類平面幾何的定理給予了負面的或不持正面的評價。在後文中，作者對於「非歐幾何」、「射影幾何｣、「微分幾何」、「Klein 的 Erlanger 綱領」以及「幾何基礎」等均給予二至四頁以上的篇幅介紹近代幾何學的轉向。這些轉向都可以作為讀者對於幾何領域感到興趣可以進一步探索的分支。
作為本書第三也是最後的一個部分：方程求解問題，作者用了約莫七十頁的篇幅深入介紹。確實，代數學的發展與多項式方程式求解的問題緊密聯繫在一起。在十六世紀以來就有許多基本的定理出現，如代數基本定理、根與係數關係、勘根定理等等。但對於解的表達式的問題則出現另一類的發展，如三次方程、四次方程的公式解陸續被發現，而五次以上的方程之根式解則找不到。而這樣的問題可溯源自 Lagrange 預解式的概念，透過觀察三次與四次的預解式，他們找出一套表達解的有效辦法。但這套辦法在運用到五次以上的方程時便失效了，其中的精神是對於解的猜測的輪換表現，這就是所謂的對稱群(symmetric group)的概念。不過作者並不打算採取嚴格（而最易懂）的順序逐步從群的概念出發至抽象，而是對於立即需要使用的概念給出定義，而對於細節則說服讀者相信其真確性。在觀察係數擴張時的 Galois 群的變化體悟出表達式所具備的結構，如此獲得 Galois 理論的大要後運用在多項式方程式的問題中。作者認為「在 Abel 證明出五次以上的方程式沒有根式解之後，方程式的根式解這個領域已經沒有多少有意義的問題值得研究了。畢竟不管使用如何巧妙的方法推出公式解在數學上的意義都是微乎其微的」。至於 Galois 理論的意義有兩個：可以透過變換群的角度轉換觀點、開創群論的研究，運用群論來研究某個特殊結構的變換群對於數學結構的瞭解是非常有用的。後文均是對於此相關的問題的一些相關補述，如 Sturm 法則、多元高次聯立方程以及中國數學家對於聯立一次／同餘方程組的貢獻等。
總之本書對於銜接初等的中學數學與高等數學有一定的作用，不過似乎並非各式題材都有辦法鋪陳足夠多的素材聯繫，或者中間的聯繫會過度遙遠，以至於不得不介紹各種術語推砌而上。希望這本書可以讓中學生感受到數學的有趣，而能讓專家學者發掘出適當的介紹自身工作的機會。
規格：平裝 / 普通級 / 單色印刷 / 初版
出版地：台灣
出版日期：2001/11/12
沒有留言:
張貼留言