我曾經聽說Galois theory可以解決古典的三大幾何不可能命題，但一直不清楚其細節。另一方面，我對抽象代數的基礎知識相當薄弱，因此在看到這本書時就覺得或許我可以讀讀看這本約莫200頁的小書來好好學習一點相關的概念。
簡評：一本薄博的小書，在盡可能最少的先備知識下獲得相應的結論，大部分的證明都容易理解。
本書以不可能性為主軸貫穿，除了幾何作圖不可能性外，本書也提及為何五次以上的多項式一般沒有根式解、不可能對一般角做五等分等。全書共分十二章。首章介紹代數中出現的相關數學物件，如環、體、向量空間、多項式以及多項式除法等。透過多項式，作者在第二章定義了何謂代數數並定義了degree等概念。在第三章介紹了體的延拓，如此我們可以逐步將所解的根加入其中並考察多項式能否在適當的體中進行分解。第四章就圍繞在不可分解的概念上進行說明，並探討可分解與不可分解的判別辦法。
第五章與第六章則開始處理幾何不可能問題，首先作者在第五章描述尺規作圖的限制及其可能產生的現象，如此衍生出所謂的可構造數。第六章則詳細刻畫可構造數的充要條件。如此我們就解決了三等分角與倍立方問題。而化圓為方則建立在超越數的相關理論，作者將其放置於第十章處理。
在解決了可構造數的概念後，作者轉向多項式理論的發展與建構，在第七章作者給出二次至四次的多項式方程式之完整根式解的推導，而在第八與第九章則留給五次方程的相關理論，而在最後則給出Abel-Ruffini定理的說明，這就點出存在五次（以及 $n$ 次）多項式方程式沒有根式解。有趣的事情是本書的證明思路並不是運用Galois theory，而是利用Kronecker定理的特性獲得的衍生結果。在第十章，作者介紹了許多初等微積分與基礎數論的概念，並且發展了一種有趣的分析技巧從而證明出：$e$與$\pi$為超越數，並在最後簡介了超越數論的豐富結果。
最後兩章作為相關結果的補充說明。一個體可以進行除法，第十一章描述對於一個用代數數擴張後的體要如何快速的求出其中的反元素。我想這只是一個多項式的模乘法的一個衍生結果，而第十二章則說明前面所沒有提及的不可能性問題，如不可能用初等函數表達某類不定積分等問題。不過本書作為一入門僅簡單介紹了相關概念並未給予證明或具體的相關步驟。不過各章章末均有延伸閱讀，我相信對相關議題感興趣的讀者肯定可以找到有用的文獻學習相關知識。本書最大的問題可能是作者拼字錯誤或英文表達過度冗贅（不過這可能也是它的優點？），在排版上作者盡可能強調相關概念，不過這顯得文句的位置稍嫌怪異。
叢書系列：Undergraduate Texts in Mathematics
規格：平裝 / 240頁 / 6.25 x 0.75 x 9.5 inches / 普通級 / 單色印刷 / 初版
出版地：美國
出版日期：2022/11/28
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