[書評] 微積分的歷史步道

這是一本講述微積分發展緣起的書，但這並不同於一般的數學史的書籍。此書可以視為修習微積分課程時的補充教材或課外閱讀，它紮紮實實地講授了別於教科書的數學觀點：一種為何如此定義／為何探索此問題的觀點。

簡評：本書呈現出早於微積分時期的各種觀點，一方面可以欣賞前人對於沒有工具下突破問題的毅力，也可轉化這些技術來提升微積分的理解。

沿著一般教科書的觀點，我們會學習極限的觀念，接著是單變數導函數隨之而來的是微分的應用，再來才是關於積分的定義。然而歷史的發展順序往往出乎我們的意料。本書就帶領著我們沿著歷史探究微積分的各項重要結果，順著時間與前人的步伐前進。

第0章類似於本書的地圖指南，說明各章次之間的關聯與題旨，第1章談畢氏學派發現的「無窮」，於此時期的數學大致等同於幾何學，因此對該時期的數學家關於的數實際上都帶有幾何量（也因此他們不會考慮負數的情形），幾何學隱藏著各種需要處理無窮的情形：單位正方形的斜邊是無窮小數、非多邊形的面積需用多邊形進行逼近。隨著而來的第2至第4章便是探討古人克服無窮的各種方案，這些方案都帶有各種巧思，卻不易普遍化至其他函數。

至此，本書看似突兀地轉談切線方程的求法。確實，這表面上看來並無特別關聯，但隨著求面積與求切線的觀念的演進，兩者慢慢地開始在算法上產生聯繫。第5章與第6章深入地探究歷史上曾出現過的各種求切線法並點評其優劣。在分析優劣的過程中，作者明確地指出一人：費馬。他對求面積法與求切線法都提出精湛而有意思的方法。但可惜的是他最終仍是功虧一簣，如文中引述法國數學家Hadamard的意見，「發現一個事實是一件事情，認識到它的重要性卻是另一件事情，不論是研究者個人或科學社群，這可能是很不同的兩件事。」我們可以發現費馬沒有發展出系統的演算工具並且明確表示出求切線與求面積的具體聯繫。

第7和第8章則由另一個角度切入微積分的物理應用：運動現象。運動現象自亞里斯多德的時代就有許多探究，而在現今的中學物理也是經典的教材，特別是關於等加速度運動更是經典現象。伽利略的助手托里切利（首位界定出大氣壓力的人）便看出速度函數與加速度函數之間的導函數與反導函數的關聯（雖然也有人質疑他並非真正掌握微積分基本定理的意涵，而只是看到這簡單例子而做出的推測）。

那真正發現微積分基本定理的人是誰呢？是牛頓的老師，巴羅。可惜的是巴羅用了晦澀的語言表達微積分基本定理的證明，而且沒有體認到這個定理的重要性。而次章便談牛頓如何由運動學發現微積分並運用幾何觀點來證明，再次章則從萊布尼茲的差和分觀點延伸至微積分。於我而言，我自然是較欣賞萊布尼茲的證明手法與觀點（精簡而美妙），但牛頓則更直接的從應用的方向創造了微積分工具。

隨後的第12至第14章則針對微積分基本定理的各項觀念做一闡釋，如巴羅、牛頓以及萊布尼茲所發展出的微分三角形之差異、圖解微積分基本定理和牛頓利用微積分觀念界定出命定性宇宙觀（或者可說物理決定論的世界，此為一種形上哲學觀點）

最後的兩章扣回本書的題旨：微積分的歷史。現今的微積分當然走得比當時來得更遠更深（更難理解？），也就到了遠近的微積分算術化，這樣的過程迴避了前人無法論清的極限觀點，也就是數學系學生必學的$\varepsilon-\delta$語言。透過捕捉無窮技術的方法不斷推陳新，這也就是微積分學（或稱分析學）迷人的地方。

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ISBN：9789571458045
叢書系列：鸚鵡螺數學叢書
規格：平裝 / 408頁 / 16k菊 / 14.8 x 21 cm / 普通級 / 單色印刷 / 二版
出版地：台灣
出版日期：2013/06/14