國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯
讓我們先開宗明義地說明什麼「是」實數。在數線上任取一點 P，它與原點 O 的線段長是數線之單位長的（唯一）倍數，記作 ¯OP，此數即為 0 或正實數。若 P 即原點，則其坐標為 0；若 P 在原點右側（即數線的箭頭方向），令其坐標為 ¯OP；若 P 在原點左側，令其坐標為 −¯OP。則實數的幾何看法是：
數線上任一點的坐標就是實數，它是正或負的單位長倍數。
現在，讓我們沿著數線上畫出一個腰為單位長的等腰直角三角形，並以原點為其中一個頂點。如下圖。
以此三角形的斜邊為半徑，以原點
O 為圓心，畫出一圓交數線於兩點，其中一點在
O 的右側，令它是
P 點。可見
P 點確實在數線上，而根據畢氏定理
¯OP=√2，所以
√2 是一個實數。我們已經知道
√2 不是有理數，所以，有理數雖然稠密，卻不能「佈滿」數線。有理數在數線上留下許多肉眼不能觀察，心靈卻能洞悉的空隙。數線上坐標不是有理數的點，其坐標就稱為
無理數。例如
√2 是一個無理數。
實數集合以 R 表示，所謂「x 是一個實數」也可以用 x∈R 表示。從自然數開始不斷架構直至實數的概念後，我們便可以畫出一個實數家族圖，圖 A。在這個圖上，下方的「數族」是上方的一部份，我們稱下方的是上方的子集合。例如正整數是整數的子集合，正整數也是有理數的子集合，記作 N⊂Z 或 N⊂Q。
除非特別聲明，我們平常所說的「數」就是指實數。圖 A 中所有種類的「數」都在數線上，是實數的子集合。因為有著數線的模型，使得實數和它的所有子集合，都具備一個很特殊的性質，稱為三一律：
令 a、b 為實數，則 a>b 或 a<b 或 a=b 三種關係必有一個且僅有一個成立。
這是因為，實數
a 與
b 各自是數線上某兩點
P 與
Q 的坐標。則
P、
Q 兩點在數線上的相對位置只能有以下三者之一：
P 與
Q 重疊，
P 在
Q 的右側，
P 在
Q 的左側。因為我們規定
P 在
Q 的右側就是「
a 大於
b」，
P 在
Q 的左側就是「
a 小於
b」，
P 與
Q 重疊就是「
a 等於
b」，所以就是三一律了。
要將實數 x 用數字表示，必須先規定一個記數系統。就採用自然數和有理數所用的十進制。如果 x 是整數，我們已經知道該怎麼寫，所以不討論了。如果 x 不是整數，它一定在連續兩個整數之間：
n≤x<n+1，其中 n∈Z。
則
0≤x−n≤1 以十進制數字寫出來，是一個純小數
p，所以
x=n+p 就得到
x 的十進制小數表示。現在，我們可以用數字來說明什麼「是」實數：
小數點下有任意多位數字的數值 ±N.b1b2b3b4…，其中 N∈N，bk∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，就是一個實數。
我們已經知道，當
x 的小數部分是有限小數或無窮循環小數時，
x 是有理數；所有其他不循環的無窮小數都是無理數。正的實數稱為正數，負實數則稱為負數。
觀察十進制小數 p=0.416… 在數線上的位置：
- 將 0 到 1 的區間等分十份，每份的長度是十分之一，則 0.4≤p≤0.5，而 p 的十分位是 4。
- 將 0.4 到 0.5 的區間等分十份，每份的長度是百分之一，則 0.41≤p≤0.42，而 p 的百分位是 1。
- 將 0.41 到 0.42 的區間等分十份，每份的長度是千分之一，則 0.416≤p≤0.417，而 p 的千分位是 7。
讀者應該已經觀察出來，若b10n≤p<b+110n，其中 b∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
則 p 的小數點下第 n 位的數字就是 b。
應用上述十進制小數在數線上的意義，我們能夠用每次十等分的想法，決定無理數的在小數點下第一、第二、第三、第四…位的數字，稱為十分逼近法。以 √2 為例，令數線上點 P 的坐標是 √2，根據 (√2)2=2 之性質，我們以十分逼近法決定 P 點坐標的小數點下前三位的數字。
於是我們得知 1.414<√2<1.415，亦即 √2=1.414…。在數線上則會呈現如下圖的狀況。
因為 √2 如我們所知是無理數，所以像這樣的步驟可以不斷地繼續下去，不斷地讓 √2 落在下一個十等分段落中的其中一段，並逼近更確切的數字，就像拿一個放大鏡不斷放大、換成顯微鏡繼續放大、再換成數位顯微鏡持續放大一般，這樣的流程可以永無止盡地持續下去。然而已知 √2 是不循環的無窮小數，我們的篇幅有限，所以停止在此。※依科教中心的政策，在清楚標示作者與出處的前提下，以不營利的方式轉載分享。
